Le mouvement varié est celui dans lequel un mobile parcourt en temps égaux des espaces inégaux. Ce mouvement peut varier d’une infinité de manières ; le seul qu’il importe de considérer ici est le mouvement uniformément varié.
On nomme mouvement uniformément varié, celui dans lequel la vitesse croît ou décroît de quantités égales en temps égaux. Dans le premier cas, le mouvement est uniformément accéléré : tel est le mouvement d’un corps qui tombe, abstraction faite de la résistance de l’air. Dans le second, il est uniformément retardé : tel est le mouvement d’une pierre lancée verticalement de bas en haut.
Le mouvement uniformément varié a toujours pour cause une force continue constante, se comportant comme puissance ou comme résistance, suivant que le mouvement est accéléré ou retardé.
La sphère bleue se déplace selon une accélération constante. Si \(a > 0\), le mouvement est accéléré. Si \(a < 0\), il est retardé.
Figure 1 : Trajectoire 3D d'un mobile en mouvement uniformément varié. La traînée orange montre le chemin parcouru.
Dans le mouvement uniformément accéléré, les espaces parcourus en temps égaux n’étant pas égaux, la vitesse n’est plus le chemin parcouru dans l’unité de temps, comme dans le mouvement uniforme. Ici on entend par vitesse, en un instant donné, l’espace qui, à partir de cet instant, serait uniformément parcouru par le mobile, dans chaque seconde, si la force accélératrice cessait tout à coup, c’est-à-dire si le mouvement devenait uniforme. Par exemple, si l’on dit d’un mobile qu’il a une vitesse de 60 mètres après 40 secondes d’un mouvement uniformément accéléré, on exprime que, si la force accélératrice qui a agi jusqu’alors cessait après 40 secondes, le mobile, en vertu de son inertie, continuerait à se mouvoir en parcourant uniformément 60 mètres par seconde.
Or, tout mouvement uniformément accéléré, quel que soit son accroissement de vitesse, est soumis aux deux lois suivantes :
La vitesse croît proportionnellement au temps. La droite rouge montre que \(v\) est une fonction linéaire de \(t\). Plus l'accélération \(a\) est grande, plus la pente est raide.
Figure 2 : Représentation 3D de la loi des vitesses. La sphère rouge se déplace le long de la droite \(v = a \cdot t\).
L'espace parcouru est proportionnel au carré du temps. La courbe orange est une parabole (loi quadratique). Le point rouge suit cette courbe.
Figure 3 : Représentation 3D de la loi des espaces. La courbe orange illustre la croissance quadratique \(e \propto t^2\).
On démontre, en mécanique rationnelle, que, lorsque plusieurs forces constantes F, F', F''..., agissent successivement sur un même corps, elles lui impriment, en temps égaux, des accélérations de vitesse G, G', G''..., proportionnelles à ces forces, c’est-à-dire qu’on a \(\frac{F}{F'} = \frac{G}{G'}\), \(\frac{F}{F''} = \frac{G}{G''}\)...
Ce principe permet donc de mesurer les forces par les accélérations de vitesse qu’elles communiquent aux mobiles, les forces étant estimées en kilogrammes et les vitesses en mètres ; de plus, comme des égalités ci-dessus on tire \(\frac{F}{G} = \frac{F'}{G'} = \frac{F''}{G''}\)..., on voit que, pour un même corps, le rapport entre la force qui le sollicite et l’accélération de vitesse qu’elle lui communique est constant, quelle que soit la force.
C’est ce rapport constant que les mécaniciens ont adopté pour mesurer la masse des corps, et ils disent que deux corps sont de même masse, quand, sollicités par des forces égales, ils prennent, dans le même temps, des accélérations de vitesse égales.
En représentant par M et m les masses de deux corps, par F et f les forces qui agissent sur eux, par V et v les vitesses qu’elles leur communiquent dans le même temps, on a donc \(\frac{F}{V} = M\), et \(\frac{f}{v} = m\) ; ou \(F = MV\), et \(f = mv\). Divisant ces deux dernières égalités membre à membre, on a \(\frac{F}{f} = \frac{MV}{mv}\).
Le produit \(MV\) de la masse d’un corps par la vitesse dont il est animé, a reçu le nom de quantité de mouvement de ce corps. On peut donc énoncer la dernière égalité ci-dessus en disant que deux forces quelconques sont entre elles comme les quantités de mouvement qu’elles impriment à deux masses différentes. Par conséquent, si l’on prend pour unité de force celle qui imprimerait à l’unité de masse l’unité de vitesse dans l’unité de temps, on voit que les forces peuvent se mesurer par les quantités de mouvement qui leur correspondent.
Les forces étant proportionnelles aux quantités de mouvement, il en résulte que pour une même force le produit MV est constant ; c’est-à-dire que la masse devenant deux, trois fois plus grande, la vitesse est deux, trois fois plus petite. Ce résultat se déduit de la dernière égalité ci-dessus, en y faisant \(F = f\), ce qui donne \(MV = mv\), ou \(\frac{M}{m} = \frac{v}{V}\) ; c’est-à-dire que les vitesses imprimées par une même force à deux masses inégales sont en raison inverse de ces masses.
Si \(V = v\), on a \(\frac{F}{f} = \frac{M}{m}\) ; c’est-à-dire que deux forces sont entre elles comme les masses auxquelles elles impriment des vitesses égales.
Le vecteur violet représente \(\vec{p}\). Sa longueur est proportionnelle au produit de la masse par la vitesse. La sphère cyan se déplace dans l'espace, et le vecteur suit son mouvement.
Figure 4 : Représentation 3D de la quantité de mouvement. La sphère cyan se déplace, et le vecteur violet \(\vec{p} = M\vec{V}\) suit son mouvement.