TRAITÉ DE CRISTALLOGRAPHIE

DES FORMES DÉRIVÉES
DU CUBE

Théorie des décroissements — Mémoire analytique

RENÉ JUST HAÜY

Mémoire interactif d'après l'édition de 1822

§1. Principes généraux

« On sait qu’à mesure qu’une quantité approche de sa limite, d’autres quantités qui en font partie varient par des différences décroissantes, et finissent par devenir égales, à l’endroit où est placée la limite. C’est ce que l’on remarque dans le passage des diverses espèces de parallélépipèdes à la forme cubique. »

Le cube est la forme primitive la plus symétrique. Les décroissements – c’est-à-dire la soustraction de rangées de molécules intégrantes – agissent sur les angles ou les bords du noyau pour produire des formes secondaires : octaèdre, dodécaèdre rhomboidal, trapézoèdre à 24 faces, etc.

✧ Notation de Haüy : Le paramètre n désigne le nombre de rangées soustraites. Les rapports g′:p′ et bp:Op déterminent les inclinaisons des nouvelles faces.

§2. Cube primitif (noyau)

FIGURE 1 — Cube générateur

Fig. 1 — Le cube, forme primitive. Faces : P, M, T. Arête a = 1 (unité moléculaire).

Paramètres fondamentaux
Arête du noyau : a = 1
Angles dièdres : 90°
Symétrie : groupe octaédrique

§3. Octaèdre régulier — Décroissement par une rangée (n = ½)

« Le premier cas donne l’octaèdre régulier » (t. I, p. 145). Lorsque n = ½, les trois trapézoïdes autour d’un angle solide deviennent coplanaires.

FIGURE 2 — Octaèdre régulier

Fig. 2 — Octaèdre : 8 faces triangulaires équilatérales. Incidence c|c = 109°28′16″.

Pour n = ½
\[ g' : p' = \sqrt{5} : 1 \quad;\quad bp : Op = 3 : 1 \] Angles rof, roh = 120° → coïncidence des trois trapézoïdes → octaèdre.

⌘ Exemples : Fer sulfuré octaèdre, plomb sulfuré, soude muriatée.

§4. Trapézoèdre — Décroissement par deux rangées (n = 1)

« Le second cas donne un solide terminé par 24 trapézoïdes égaux et semblables. » (t. I, p. 145)

FIGURE 3 — Trapézoèdre à 24 faces

Fig. 3 — Solide à 24 trapézoïdes (n=1). Fer sulfuré trapézoïdal.

Pour n = 1
\[ g' : p' = \sqrt{8} : \sqrt{3} \quad;\quad bp : Op = 2 : 1 \] \[ pr : bp = \sqrt{2} : \sqrt{3} \]

Incidence u|u = 146°26′33″

Incidence u|u′ = 131°48′36″

§5. Formules générales des décroissements

« Concevons un décroissement qui agisse, suivant une loi quelconque, sur tous les angles de cette forme primitive. » (p. 5)

Rapport fondamental (dérivé t. I, p. 311) :
\[ g' : p' \equiv (n+1)\sqrt{2} : \sqrt{2n^2 + 1} \]
\[ bp : Op = n+1 : n \]

Relation dérivée (p. 6) :
\[ 2p'^2 : g'^2 - p'^2 \equiv 4n^2 + 2 : 4n + 1 \]

⌘ Légende : g′ = pr, p′ = Op (figure 6). n = nombre de rangées soustraites.

§6. Incidences des trapézoïdes

6.1 Incidence u sur u

« Ce rapport donne le rapport entre le rayon et le sinus de l’angle qu’il faut ajouter à 90° pour avoir les incidences respectives des trapézoïdes u, u. » (p. 6)

FIGURE 6 — Disposition des trapézoïdes autour de l’angle O

Fig. 6 — Les trois trapézoïdes u autour de l’angle solide O. Les diagonales fr, fh, hr délimitent un rhomboïde.

6.2 Incidence u sur u′

« Soit crfb (fig. 7) la pyramide quadrangulaire... l’angle fyz sera égal à la moitié de l’incidence proposée. »

FIGURE 7 — Pyramide quadrangulaire pour l’incidence u|u′

Fig. 7 — Construction géométrique : hauteur bx, perpendiculaire fr, angle fyz = ½ incidence.

Rapports déduits (p. 7) :
\[ px : bx = n\sqrt{2} : 1 \quad;\quad rx = 2n \] \[ br = \sqrt{4n^2 + 1} \quad;\quad xy = \frac{2n}{\sqrt{4n^2+1}} \] \[ fx : xy = \sqrt{4n^2+1} : 1 \]

§7. Union des formes — Exemple du plomb sulfuré (galène)

« La surface est composée des six faces P, M d’un cube, des huit faces c d’un octaèdre, des douze faces o d’un dodécaèdre rhomboidal, et de vingt-quatre faces l, l′ trapézoïdales. » (p. 13-14)

FIGURE 11 — Galène (plomb sulfuré)

Fig. 11 — Combinaison : cube + octaèdre + dodécaèdre + 24 trapézoïdes. Signe AB′G′.

Application numérique (x=2, y=1, n=1, h=1) :
\[ kg : gx = \sqrt{17} : 1 \quad \text{→ incidence } l|l' = 152°44′2″ \] \[ es : sz = \sqrt{8} : 1 \quad \text{→ incidence } l|l = 141°3′28″ \]

§8. Synthèse — Modèle paramétrable (loi de décroissement)

Le modèle ci-dessous implémente toutes les formes dérivées en fonction du paramètre n. Les formules de Haüy (p. 5-7) sont appliquées en temps réel.

FIGURE SYNTHÈSE — Polyèdre paramétré par n

Modèle unifié : la forme s’adapte selon n (0.5 → octaèdre, 1 → trapézoèdre, valeurs intermédiaires → dodécaèdre rhomboidal).

Paramètre n (rangées soustraites)

Valeur exacte

g′ : p′ = 2.828 : 1.732

bp : Op = 2 : 1

n = 1.00

\[ g' : p' = (n+1)\sqrt{2} \;:\; \sqrt{2n^2+1} \qquad bp : Op = (n+1) : n \]

✧ Note : Les incidences réelles dépendent de n selon les relations établies p. 6-7. Pour n=1, u|u = 146°26′33″ et u|u′ = 131°48′36″.

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